{"id":86,"date":"2016-08-07T20:16:03","date_gmt":"2016-08-08T04:16:03","guid":{"rendered":"http:\/\/wonghoi.humgar.com\/blog\/?page_id=86"},"modified":"2017-04-17T21:11:29","modified_gmt":"2017-04-18T05:11:29","slug":"ideas-oversimplified-signals-and-systems-2-prerequisities-complex-numbers","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/wonghoi.humgar.com\/blog\/ideas-oversimplified-signals-and-systems-2-prerequisities-complex-numbers\/","title":{"rendered":"Oversimplified: Signals and Systems (2) &#8211; Prereq: Complex Numbers"},"content":{"rendered":"<p>Complex number manipulations are prevalent through the entire &#8216;Signals and Systems&#8217; course and everywhere that uses the concepts. You won&#8217;t get anywhere without it. You need to get so comfortable with it that Chapter 1 of <a href=\"http:\/\/www.math.ucsb.edu\/~wei\/teach\/122\/Brown-Churchill-Complex%20Variables%20and%20Application%208th%20edition.pdf\">Churchill&#8217;s Complex Variables and Applications<\/a> is child&#8217;s play.<\/p>\n<p>Jargon in\u00a0complex numbers goes under many different names.\u00a0Remember as\u00a0many of them as you can since different books will use different\u00a0terminologies. Some might actually help you to grasp the concepts better. I&#8217;ll use them interchangeably without hesitation.<\/p>\n<ul>\n<li>[Magnitude] radius, length, modulus<\/li>\n<li>[Phase] angle, direction, argument<\/li>\n<li>[Cartesian Coordinates] rectangular coordinates<\/li>\n<\/ul>\n<p>Before we get to properties, you&#8217;ll need to have\u00a0the following intuition in mind so you can easily\u00a0prove the properties in your head:<\/p>\n<ul>\n<li><span style=\"text-decoration: underline;\">Conjugation flips<\/span> your\u00a0the complex number upside down along the real plane.<br \/>\nIt reverse the angles and flips the sign\u00a0of\u00a0the imaginary part.<\/li>\n<li><span style=\"text-decoration: underline;\">Unit circle<\/span>\u00a0<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/wonghoi.humgar.com\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4a500c86c809fa93a975dab3f63b2e64_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#101;&#94;&#123;&#106;&#120;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"23\" style=\"vertical-align: 0px;\"\/> has a radius of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/wonghoi.humgar.com\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-69a7c7fb1023d315f416440bca10d849_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"7\" style=\"vertical-align: 0px;\"\/> everywhere (<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/wonghoi.humgar.com\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6fc4b6cb71f616759485382ad78ecfa6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#111;&#114;&#97;&#108;&#108;&#32;&#120;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"20\" style=\"vertical-align: 0px;\"\/>) . Mathematically\u00a0<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/wonghoi.humgar.com\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4583be1042f6187bab3f57358b5073ee_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#108;&#118;&#101;&#114;&#116;&#32;&#101;&#94;&#123;&#106;&#120;&#125;&#32;&#92;&#114;&#118;&#101;&#114;&#116;&#32;&#61;&#32;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"63\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/> so you don&#8217;t have to worry about scaling when you work with the phase.<\/li>\n<li><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/wonghoi.humgar.com\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-37abf2e602a43ae0ff9f12b1536fa74c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#45;&#49;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"21\" style=\"vertical-align: 0px;\"\/> is a phase change of <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/wonghoi.humgar.com\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ed7678864de5d2f3ff6739ada3fd00e9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#112;&#105;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\"\/>, aka <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/wonghoi.humgar.com\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c09ab23c9ef9b9bd62044603a4ea4c9d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#101;&#94;&#123;&#106;&#92;&#112;&#105;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"23\" style=\"vertical-align: 0px;\"\/>. <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/wonghoi.humgar.com\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b09880662630fc49b25d42badb906d51_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#106;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"9\" style=\"vertical-align: -4px;\"\/> is a <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/wonghoi.humgar.com\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d3f6fd7c0c48dd7dc606f7af2496cc86_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#57;&#48;&#94;&#92;&#99;&#105;&#114;&#99;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"25\" style=\"vertical-align: 0px;\"\/> or <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/wonghoi.humgar.com\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-26473cd5a51604ca66dd02f2bb7a296d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#92;&#112;&#105;&#125;&#123;&#50;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"9\" style=\"vertical-align: -6px;\"\/> phase shifter.<\/li>\n<li>Multiplying with non-zero phase\u00a0<span style=\"text-decoration: underline;\">rotates<\/span> the complex number (interpreted as a vector) anti-clockwise (i.e. adding the angles).<\/li>\n<\/ul>\n<p>The main use of different coordinate systems is to <span style=\"text-decoration: underline;\">decouple<\/span> the parameters so you can vary one parameter without changing the rest,\u00a0which makes visualization or manipulations much easier.\u00a0Cartesian coordinates decouples <span style=\"text-decoration: underline;\">real<\/span> and <span style=\"text-decoration: underline;\">imaginary<\/span> parts while polar coordinates decouples <span style=\"text-decoration: underline;\">length<\/span> and <span style=\"text-decoration: underline;\">direction<\/span>.<\/p>\n<p>In general, polar coordinates are often most helpful for visualizing\u00a0the ideas (and multiplicative operations)\u00a0while rectangular coordinates are better for additive manipulations.<\/p>\n<p>Remember ALL of the following properties by heart:<\/p>\n<p>Conjugation <span style=\"text-decoration: underline;\">distributes<\/span> both <span style=\"text-decoration: underline;\">additively<\/span> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/wonghoi.humgar.com\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0f57b8b81ddf424cfecef8c6b6870e67_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#123;&#32;&#43;&#44;&#32;&#45;&#32;&#92;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"52\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/> and <span style=\"text-decoration: underline;\">multiplicatively<\/span>\u00a0<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/wonghoi.humgar.com\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-991a716b3ac982dee7116748e77c77e4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#123;&#32;&#92;&#116;&#105;&#109;&#101;&#115;&#44;&#32;&#92;&#100;&#105;&#118;&#32;&#92;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"52\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/>:<\/p>\n<p class=\"ql-center-displayed-equation\" style=\"line-height: 44px;\"><span class=\"ql-right-eqno\"> &nbsp; <\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/wonghoi.humgar.com\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bb46c50fb74aa190efe30c5d431b81b8_l3.png\" height=\"44\" width=\"489\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#108;&#105;&#103;&#110;&#42;&#125; &#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#108;&#105;&#110;&#101;&#123;&#122;&#95;&#49;&#32;&#43;&#32;&#122;&#95;&#50;&#125;&#32;&#38;&#32;&#61;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#108;&#105;&#110;&#101;&#123;&#122;&#95;&#49;&#125;&#32;&#43;&#32;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#108;&#105;&#110;&#101;&#123;&#122;&#95;&#50;&#125;&#32;&#32;&#38;&#32;&#92;&#44;&#32;&#38;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#110;&#111;&#114;&#109;&#97;&#108;&#123;&#67;&#111;&#110;&#106;&#117;&#103;&#97;&#116;&#105;&#111;&#110;&#32;&#100;&#105;&#115;&#116;&#114;&#105;&#98;&#117;&#116;&#101;&#115;&#32;&#97;&#100;&#100;&#105;&#116;&#105;&#118;&#101;&#108;&#121;&#125;&#92;&#92; &#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#108;&#105;&#110;&#101;&#123;&#122;&#95;&#49;&#32;&#122;&#95;&#50;&#125;&#32;&#38;&#32;&#61;&#32;&#92;&#98;&#97;&#114;&#123;&#122;&#95;&#49;&#125;&#32;&#92;&#98;&#97;&#114;&#123;&#122;&#95;&#50;&#125;&#32;&#32;&#38;&#32;&#92;&#44;&#32;&#38;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#110;&#111;&#114;&#109;&#97;&#108;&#123;&#67;&#111;&#110;&#106;&#117;&#103;&#97;&#116;&#105;&#111;&#110;&#32;&#100;&#105;&#115;&#116;&#114;&#105;&#98;&#117;&#116;&#101;&#115;&#32;&#109;&#117;&#108;&#116;&#105;&#112;&#108;&#105;&#99;&#97;&#116;&#105;&#118;&#101;&#108;&#121;&#125;&#92;&#92; &#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#108;&#105;&#103;&#110;&#42;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\"\/><\/p>\n<p><span style=\"font-size: 1.0625rem; line-height: 1.5;\">Magnitude distributes ONLY\u00a0multiplicatively\u00a0<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/wonghoi.humgar.com\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-991a716b3ac982dee7116748e77c77e4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#123;&#32;&#92;&#116;&#105;&#109;&#101;&#115;&#44;&#32;&#92;&#100;&#105;&#118;&#32;&#92;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"52\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/><\/span><\/p>\n<p class=\"ql-center-displayed-equation\" style=\"line-height: 19px;\"><span class=\"ql-right-eqno\"> &nbsp; <\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/wonghoi.humgar.com\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-af9488b9e706654af97355d521bcf8b3_l3.png\" height=\"19\" width=\"470\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#108;&#105;&#103;&#110;&#42;&#125; &#92;&#108;&#118;&#101;&#114;&#116;&#32;&#122;&#95;&#49;&#32;&#122;&#95;&#50;&#32;&#92;&#114;&#118;&#101;&#114;&#116;&#32;&#38;&#32;&#61;&#32;&#92;&#108;&#118;&#101;&#114;&#116;&#32;&#122;&#95;&#49;&#32;&#92;&#114;&#118;&#101;&#114;&#116;&#32;&#92;&#108;&#118;&#101;&#114;&#116;&#32;&#32;&#122;&#95;&#50;&#32;&#92;&#114;&#118;&#101;&#114;&#116;&#32;&#32;&#38;&#32;&#92;&#44;&#32;&#38;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#110;&#111;&#114;&#109;&#97;&#108;&#123;&#77;&#97;&#103;&#110;&#105;&#116;&#117;&#100;&#101;&#32;&#100;&#105;&#115;&#116;&#114;&#105;&#98;&#117;&#116;&#101;&#115;&#32;&#109;&#117;&#108;&#116;&#105;&#112;&#108;&#105;&#99;&#97;&#116;&#105;&#118;&#101;&#108;&#121;&#125;&#92;&#92; &#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#108;&#105;&#103;&#110;&#42;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\"\/><\/p>\n<p>Unless you can guarantee the\u00a0all complex numbers point in the same direction (same phase, or collinear), adding them might have a <span style=\"text-decoration: underline;\">cancelling<\/span> effect. One trivial example: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/wonghoi.humgar.com\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ca5c6986cc5d2d177c27e526b83d479e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#124;&#51;&#43;&#52;&#124;&#32;&#61;&#32;&#124;&#51;&#124;&#32;&#43;&#32;&#124;&#52;&#124;&#32;&#61;&#32;&#55;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"163\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/>, but <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/wonghoi.humgar.com\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ceda113e75d39b41244a2fb29469b8e5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"&#124;&#51;&#32;&#43;&#32;&#40;&#45;&#49;&#41;&#124;&#32;&#92;&#110;&#101;&#113;&#32;&#124;&#51;&#124;&#32;&#43;&#32;&#124;&#45;&#49;&#124;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"177\" style=\"vertical-align: -5px;\"\/>. Clearly magnitude operator does not distribute additively.\u00a0The relationship is in fact expressed in terms of triangle inequality:<\/p>\n<p class=\"ql-center-displayed-equation\" style=\"line-height: 19px;\"><span class=\"ql-right-eqno\"> &nbsp; <\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/wonghoi.humgar.com\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6c7edb37ed7a6a832481b7ded00ca4c9_l3.png\" height=\"19\" width=\"527\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#108;&#105;&#103;&#110;&#42;&#125; &#92;&#108;&#118;&#101;&#114;&#116;&#32;&#122;&#95;&#49;&#32;&#43;&#32;&#122;&#95;&#50;&#32;&#92;&#114;&#118;&#101;&#114;&#116;&#32;&#38;&#32;&#92;&#108;&#101;&#113;&#32;&#92;&#108;&#118;&#101;&#114;&#116;&#32;&#122;&#95;&#49;&#32;&#92;&#114;&#118;&#101;&#114;&#116;&#32;&#43;&#32;&#92;&#108;&#118;&#101;&#114;&#116;&#32;&#32;&#122;&#95;&#50;&#32;&#92;&#114;&#118;&#101;&#114;&#116;&#32;&#32;&#38;&#32;&#92;&#44;&#32;&#38;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#110;&#111;&#114;&#109;&#97;&#108;&#123;&#65;&#100;&#100;&#105;&#116;&#105;&#111;&#110;&#32;&#109;&#105;&#103;&#104;&#116;&#32;&#99;&#97;&#110;&#99;&#101;&#108;&#32;&#116;&#111;&#32;&#114;&#101;&#100;&#117;&#99;&#101;&#32;&#109;&#97;&#110;&#103;&#105;&#116;&#117;&#100;&#101;&#125;&#92;&#92; &#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#108;&#105;&#103;&#110;&#42;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\"\/><\/p>\n<p>Squared magnitude can be expressed as a product of the complex number itself multiplied by its conjugate:<\/p>\n<p class=\"ql-center-displayed-equation\" style=\"line-height: 22px;\"><span class=\"ql-right-eqno\"> &nbsp; <\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/wonghoi.humgar.com\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2270a74059feccd74434f3388e817d11_l3.png\" height=\"22\" width=\"516\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#108;&#105;&#103;&#110;&#42;&#125; &#92;&#108;&#118;&#101;&#114;&#116;&#32;&#122;&#32;&#92;&#114;&#118;&#101;&#114;&#116;&#94;&#50;&#32;&#38;&#32;&#61;&#32;&#122;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#108;&#105;&#110;&#101;&#123;&#122;&#125;&#32;&#32;&#38;&#32;&#92;&#44;&#32;&#38;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#110;&#111;&#114;&#109;&#97;&#108;&#123;&#83;&#113;&#117;&#97;&#114;&#101;&#100;&#32;&#109;&#97;&#103;&#110;&#105;&#116;&#117;&#100;&#101;&#32;&#97;&#115;&#32;&#116;&#104;&#101;&#32;&#112;&#114;&#111;&#100;&#117;&#99;&#116;&#32;&#111;&#102;&#32;&#99;&#111;&#110;&#106;&#117;&#103;&#97;&#116;&#101;&#32;&#112;&#97;&#105;&#114;&#115;&#125;&#92;&#92; &#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#108;&#105;&#103;&#110;&#42;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\"\/><\/p>\n<p>This can be\u00a0interpreted in both rectangular (Cartesian)\u00a0coordinates and polar coordinates:<\/p>\n<p class=\"ql-center-displayed-equation\" style=\"line-height: 52px;\"><span class=\"ql-right-eqno\"> &nbsp; <\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/wonghoi.humgar.com\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-adfebca486b43383c7137a5ae48874d0_l3.png\" height=\"52\" width=\"612\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#108;&#105;&#103;&#110;&#42;&#125; &#122;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#108;&#105;&#110;&#101;&#123;&#122;&#125;&#32;&#38;&#32;&#61;&#32;&#40;&#97;&#43;&#106;&#98;&#41;&#40;&#97;&#45;&#106;&#98;&#41;&#32;&#32;&#61;&#32;&#40;&#97;&#94;&#50;&#32;&#45;&#32;&#123;&#40;&#106;&#98;&#41;&#125;&#94;&#50;&#41;&#32;&#61;&#32;&#97;&#94;&#50;&#32;&#43;&#32;&#98;&#94;&#50;&#32;&#61;&#32;&#92;&#108;&#118;&#101;&#114;&#116;&#32;&#122;&#32;&#92;&#114;&#118;&#101;&#114;&#116;&#94;&#50;&#32;&#38;&#32;&#92;&#44;&#32;&#38;&#32;&#92;&#116;&#101;&#120;&#116;&#110;&#111;&#114;&#109;&#97;&#108;&#123;&#67;&#97;&#114;&#116;&#101;&#115;&#105;&#97;&#110;&#32;&#105;&#110;&#116;&#101;&#114;&#112;&#114;&#101;&#116;&#97;&#116;&#105;&#111;&#110;&#125;&#92;&#92; 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<\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/wonghoi.humgar.com\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-720ca390d4914244a4f95869e5b814be_l3.png\" height=\"81\" width=\"114\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#108;&#105;&#103;&#110;&#42;&#125; &#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#114;&#109;&#123;&#82;&#101;&#125;&#92;&#123;&#32;&#122;&#32;&#92;&#125;&#32;&#38;&#32;&#61;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#122;&#43;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#108;&#105;&#110;&#101;&#123;&#122;&#125;&#125;&#123;&#50;&#125;&#32;&#92;&#92; &#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#114;&#109;&#123;&#73;&#109;&#125;&#92;&#123;&#32;&#122;&#32;&#92;&#125;&#32;&#38;&#32;&#61;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#122;&#45;&#92;&#111;&#118;&#101;&#114;&#108;&#105;&#110;&#101;&#123;&#122;&#125;&#125;&#123;&#50;&#106;&#125;&#32;&#92;&#92; &#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#108;&#105;&#103;&#110;&#42;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\"\/><\/p>\n<p>The most common (and handy) use of this decomposition:<\/p>\n<p class=\"ql-center-displayed-equation\" style=\"line-height: 89px;\"><span class=\"ql-right-eqno\"> &nbsp; <\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/wonghoi.humgar.com\/blog\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-531f5ebcf18e6a501b867fc79ce5ad72_l3.png\" height=\"89\" width=\"227\" class=\"ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format\" alt=\"&#92;&#98;&#101;&#103;&#105;&#110;&#123;&#97;&#108;&#105;&#103;&#110;&#42;&#125; &#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#114;&#109;&#123;&#82;&#101;&#125;&#92;&#123;&#32;&#101;&#94;&#123;&#106;&#120;&#125;&#32;&#92;&#125;&#32;&#38;&#32;&#61;&#32;&#92;&#99;&#111;&#115;&#32;&#120;&#32;&#61;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#101;&#94;&#123;&#106;&#120;&#125;&#43;&#101;&#94;&#123;&#45;&#106;&#120;&#125;&#125;&#123;&#50;&#125;&#32;&#92;&#92; &#92;&#109;&#97;&#116;&#104;&#114;&#109;&#123;&#73;&#109;&#125;&#92;&#123;&#32;&#101;&#94;&#123;&#106;&#120;&#125;&#32;&#92;&#125;&#32;&#38;&#32;&#61;&#32;&#92;&#115;&#105;&#110;&#32;&#120;&#32;&#61;&#32;&#92;&#102;&#114;&#97;&#99;&#123;&#101;&#94;&#123;&#106;&#120;&#125;&#45;&#101;&#94;&#123;&#45;&#106;&#120;&#125;&#125;&#123;&#50;&#106;&#125;&#32;&#92;&#92; &#92;&#101;&#110;&#100;&#123;&#97;&#108;&#105;&#103;&#110;&#42;&#125;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\"\/><\/p>\n<p>With this, deriving product to sum\u00a0formula in high school trigonometry\u00a0becomes a trivial algebra problem of multiplying exponents!<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\n<div class=\"pvc_clear\"><\/div>\n<p id=\"pvc_stats_86\" class=\"pvc_stats all  \" data-element-id=\"86\" style=\"\"><i class=\"pvc-stats-icon medium\" aria-hidden=\"true\"><svg aria-hidden=\"true\" focusable=\"false\" data-prefix=\"far\" data-icon=\"chart-bar\" role=\"img\" xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/2000\/svg\" viewBox=\"0 0 512 512\" class=\"svg-inline--fa fa-chart-bar fa-w-16 fa-2x\"><path fill=\"currentColor\" d=\"M396.8 352h22.4c6.4 0 12.8-6.4 12.8-12.8V108.8c0-6.4-6.4-12.8-12.8-12.8h-22.4c-6.4 0-12.8 6.4-12.8 12.8v230.4c0 6.4 6.4 12.8 12.8 12.8zm-192 0h22.4c6.4 0 12.8-6.4 12.8-12.8V140.8c0-6.4-6.4-12.8-12.8-12.8h-22.4c-6.4 0-12.8 6.4-12.8 12.8v198.4c0 6.4 6.4 12.8 12.8 12.8zm96 0h22.4c6.4 0 12.8-6.4 12.8-12.8V204.8c0-6.4-6.4-12.8-12.8-12.8h-22.4c-6.4 0-12.8 6.4-12.8 12.8v134.4c0 6.4 6.4 12.8 12.8 12.8zM496 400H48V80c0-8.84-7.16-16-16-16H16C7.16 64 0 71.16 0 80v336c0 17.67 14.33 32 32 32h464c8.84 0 16-7.16 16-16v-16c0-8.84-7.16-16-16-16zm-387.2-48h22.4c6.4 0 12.8-6.4 12.8-12.8v-70.4c0-6.4-6.4-12.8-12.8-12.8h-22.4c-6.4 0-12.8 6.4-12.8 12.8v70.4c0 6.4 6.4 12.8 12.8 12.8z\" class=\"\"><\/path><\/svg><\/i> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"16\" height=\"16\" alt=\"Loading\" src=\"https:\/\/wonghoi.humgar.com\/blog\/wp-content\/plugins\/page-views-count\/ajax-loader-2x.gif\" border=0 \/><\/p>\n<div class=\"pvc_clear\"><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Complex number manipulations are prevalent through the entire &#8216;Signals and Systems&#8217; course and everywhere that uses the concepts. You won&#8217;t get anywhere without it. You need to get so comfortable with it that Chapter 1 of Churchill&#8217;s Complex Variables and &hellip; <a href=\"https:\/\/wonghoi.humgar.com\/blog\/ideas-oversimplified-signals-and-systems-2-prerequisities-complex-numbers\/\">Continue reading <span class=\"meta-nav\">&rarr;<\/span><\/a><\/p>\n<div class=\"pvc_clear\"><\/div>\n<p id=\"pvc_stats_86\" class=\"pvc_stats all  \" data-element-id=\"86\" style=\"\"><i class=\"pvc-stats-icon medium\" aria-hidden=\"true\"><svg aria-hidden=\"true\" focusable=\"false\" data-prefix=\"far\" data-icon=\"chart-bar\" role=\"img\" xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/2000\/svg\" viewBox=\"0 0 512 512\" class=\"svg-inline--fa fa-chart-bar fa-w-16 fa-2x\"><path fill=\"currentColor\" d=\"M396.8 352h22.4c6.4 0 12.8-6.4 12.8-12.8V108.8c0-6.4-6.4-12.8-12.8-12.8h-22.4c-6.4 0-12.8 6.4-12.8 12.8v230.4c0 6.4 6.4 12.8 12.8 12.8zm-192 0h22.4c6.4 0 12.8-6.4 12.8-12.8V140.8c0-6.4-6.4-12.8-12.8-12.8h-22.4c-6.4 0-12.8 6.4-12.8 12.8v198.4c0 6.4 6.4 12.8 12.8 12.8zm96 0h22.4c6.4 0 12.8-6.4 12.8-12.8V204.8c0-6.4-6.4-12.8-12.8-12.8h-22.4c-6.4 0-12.8 6.4-12.8 12.8v134.4c0 6.4 6.4 12.8 12.8 12.8zM496 400H48V80c0-8.84-7.16-16-16-16H16C7.16 64 0 71.16 0 80v336c0 17.67 14.33 32 32 32h464c8.84 0 16-7.16 16-16v-16c0-8.84-7.16-16-16-16zm-387.2-48h22.4c6.4 0 12.8-6.4 12.8-12.8v-70.4c0-6.4-6.4-12.8-12.8-12.8h-22.4c-6.4 0-12.8 6.4-12.8 12.8v70.4c0 6.4 6.4 12.8 12.8 12.8z\" class=\"\"><\/path><\/svg><\/i> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"16\" height=\"16\" alt=\"Loading\" src=\"https:\/\/wonghoi.humgar.com\/blog\/wp-content\/plugins\/page-views-count\/ajax-loader-2x.gif\" border=0 \/><\/p>\n<div class=\"pvc_clear\"><\/div>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","template":"","meta":{"inline_featured_image":false,"footnotes":""},"class_list":["post-86","page","type-page","status-publish","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wonghoi.humgar.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/86","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wonghoi.humgar.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/wonghoi.humgar.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wonghoi.humgar.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wonghoi.humgar.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=86"}],"version-history":[{"count":71,"href":"https:\/\/wonghoi.humgar.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/86\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":197,"href":"https:\/\/wonghoi.humgar.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/86\/revisions\/197"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wonghoi.humgar.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=86"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}